Amérique du Nord, mai 2024

Pour tout entier naturel \(n\) , on considère les intégrales suivantes : 

\(\displaystyle I_n=\int_{0}^{\pi} \text e^{-nx}\sin(x) \text d x\) et \(\displaystyle J_n=\int_{0}^{\pi} \text e^{-nx}\cos(x) \text d x\) .

1. Calculer \(I_0\) .

2. a. Justifier que, pour tout entier naturel \(n\) , on a \(I_n \geqslant 0\) .
    b. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) , on a \(I_{n+1} - I_n \leqslant 0\) .
    c. Déduire des deux questions précédentes que la suite \((I_n)\) converge.

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) , on a : \(\displaystyle I_n\leqslant \int_{0}^{\pi} \text e^{-nx} \text d x\) .
    b. Montrer que, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\) , on a : \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \text e^{-nx}\text d x = \dfrac{1-\text e^{-n\pi}}{n}\) .
    c.  Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite \((I_n)\) .

4. a. En intégrant par parties l'intégrale \(I_n\) de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\) : \(I_n = 1+\text e^{-n\pi} -nJ_n\) et \(I_n=\dfrac{1}{n}J_n\) .
    b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\) , on a \(I_n=\dfrac{1+\text e^{-n\pi}}{n^2+1}\) .

5. On souhaite obtenir le rang  \(n\) à partir duquel la suite \((I_n)\) devient inférieure à \(0{,}1\) .
Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

\(\begin{array}{|l|l|}\hline1 & \textbf{from} \text{ math }\textbf{import}*\\2 & \textbf{def}\text{ seuil():}\\3 & \quad \text{ n=0}\\4 & \quad \text{ I=2}\\5 & \quad \text{ . . .} \\6 & \qquad \text{ n=n+1}\\7 & \qquad \text{ I=(1+exp(-n*pi))/(n*n+1)}\\8 & \quad \textbf{return} \text{ n}\\\hline\end{array}\)